hh-2
¤<58721>(0:00:58.7) Wesentliche Inhalte des Interviewabschnitts: 
Ss sagen "limes geht gegen b“
Verstehen Ss die Bedeutung von Pfeil x \to a?

			 CS: 	Harald, als du ganz am Anfang gesagt hast, die Studierenden haben Schwierigkeiten dieses „Limes f(x) x gegen a ist b“ zu verstehen. [HH: mhm mhm.] Da hast du gesagt, dass sie das nicht verstehen, kommt daran raus, dass sie sagen, der Limes geht gegen b. Anstatt, dass sie sagen „der Limes ist b“. [HH: mhm.] So hab ich dich verstanden.
			 HH:	Das ist eine genau, das ist genau, dass ist eine typische 
			 CS:	Das sich darin manifestiert, dass der Grenzwertbegriff schwierig ist.
			 HH: 	Ja.
			 CS: 	Jetzt hab ich ähm, jetzt hab ich mir gedacht, es, verstehen die Studenten diesen Pfeil da unten? ¤<103791>(0:01:43.8) Verstehen die x gegen a, diesen x Pfeil a?
			 HH: 	Mhm.
			 CS: 	Diese Sache, also was ist da alles involviert?
			 HH:	Ok, gut. Das hilft mir weiter, ja. Also, das muss ich natürlich präzisieren. [CS: Das, das dieses] Und das tu ich auch. Ich tu das in Form einer Definition.
			 CS: 	Ganz kurz noch, eine Sache. Dieses, der Limes. Darf ich kurz noch eins fertig sagen? Ich glaube, dass die sagen, der Limes geht gegen a, is, is weil dieses x, weil dieses x ja marschiert in der Sprechweise [HH: Ja, ja, ja.] gegen a. [HH: Ja.] Deswegen, sagen sie der Limes geht, weil ja, aber da kannst du das nochmal erläutern? Über dieses, mich würde dieses Gehen interessieren. Das geht oder was geht nicht.
			 HH: 	Ja, wenn man sauber definiert, geht überhaupt nicht mehr. Und vielleicht sollte ich jetzt mal ähm noch ein Schritt zurück gehen. Also ich bin jetzt hier mitten ähm, vielleicht zu meiner ähm zum Versuch meiner Ehrenrettung. So chaotisch, wie ich das hier heute vorstelle, tu ich das nicht in der Vorlesung. Ja? [CS: nein, nein, nein] Ich bau das natürlich schön sauber von den ersten Definitionen aus auf. Und die erste Definition, jetzt brauch ich wieder ein Blatt, äh Peter. Die geht so. Vielleicht macht es das deutlicher.

¤<180227>(0:03:00.2) Wesentliche Inhalte des Interviewabschnitts: 
Definition limes

			 HH:	Wenn ich jetzt mal hinschreibe, was ich denen gerne auf der Konzeptebene vermitteln würde. Die ähm Grunddefinition für Limes ist: ¤<187888>(0:03:07.9) Also in der Mathematik arbeitet man halt mit Definitionen, dass führt auch schon oft zu Misstrauen und leichten Abwehrreaktionen bei Studenten, ähm ist aber ein anderes Thema. Also die Definition für, für, für den Grenzwert eines Limes schreib ich ungefähr so hin. Ich mach´s jetzt aus dem Kopf, also ist es vielleicht auch nicht 100%ig sauber, aber man ¤<214457>(0:03:34.5) sagt, die Folge(x_n) [schreibt dazu: Folge(x_n)n Element der natürlichen Zahlen], also die Folge ist eine, umfasst unendliche verschiedene Folgeglieder für jeden Index n aus den natürlichen Zahlen habe ich ein Folgenglied x_n und ich betrachte die insgesamt die Abfolge dieser Folgeglieder. Man sagt, die Folge x_n konvergiert [schreibt weiter: gegen a] gegen eine Zahl a, wenn [pausiert das schreiben] So, 

¤<259656>(0:04:19.7) Wesentliche Inhalte des Interviewabschnitts: Wahlmöglichkeit in Definition
epsilon ist per Konvention eher klein

			 HH:	und jetzt gibt es eine Wahlmöglichkeit. Die saubere Definition lautet: [schreibt weiter] Wenn es [pausiert um zu schreiben], die berüchtigte Epsilon-Definition [schreibt weiter], zu jedem Epsilon [pausiert schreiben], dass ist dieser griechische Buchstabe, [schreibt weiter] größer Null [pausiert schreiben] und Epsilon ist per Konvention in der Mathematik eine Zahl die eher klein ist, also hier ist, das muss man sich dazu denken, wenn es zu jeden noch so kleinen Epsilon größer Null [schreibt weiter] einen Index [schreibt Index K] gibt, so dass der Abstand zwischen den Folgegliedern [schreibt: |x_n-a|] und diesem a, was der Limes werden soll, kleiner wird als ein noch so kleines Epsilon [schreibt weiter: |x_n-a|< Epsilon] für die Indizes n die größer sind als dieses K [schreibt weiter |x_n-a|< Epsilon für alle n > K]. 

¤<320268>(0:05:20.3) Wesentliche Inhalte des Interviewabschnitts: 
Monster an deutschen Satz ist Herausforderung
Lehrender rüstet sprachlich ab.

			 HH:	So. Und dieses Monster an deutschem Satz und durchsetzt mit mathematischen Symbolen ist für unsere Studenten in dieser Form wirklich ne echte Herausforderung. Wie begegne ich dieser Herausforderung? Ich versuch das zum einen sprachlich nochmal abzurüsten. Manchmal bring ich auch die abgerüsteten Varianten bevor ich diese ganze formale Definition bringe. Eine abgerüstete Variante wäre zu sagen, die Folge konvergiert gegen a, wenn es zu jedem Epsilon naja [streicht aufgeschriebnen Satz]

			 CS: 	Und was ist daran schwierig?
			 HH: 	Was ist daran schwierig?
			 CS:	Was ist daran schwierig? [HH: Ich vermute, dass äh das äh] Woran manifestiert sich die Schwierigkeit?
			 HH: 	Ähm, zunächst mal an den Gesichtsausdrücken der Studierenden, [CS: Christian ich, Christian. Red´ einfach] wenn ich das an die Tafel geschrieben hab. Also das wird nicht verstanden. Das wird so erstmal nicht verstanden. Und ich lass es natürlich auch nicht so stehen.
			 CS: 	Aber das muss man doch 

¤<390247>(0:06:30.2) Wesentliche Inhalte des Interviewabschnitts: 
HH visualisiert Grenzwertdefinition graphisch

			 HH:	Was ich dann mache, ist dieses Bild, was ich vorhin angezeichnet hatte, wo ich hier die Indizes abtrage und hier die Folgenglieder [CS: Ja ok.] x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, den Limes a, der hier angenommen werden soll. Also dieses a heißt eben dann Limes oder Grenzwert auf Deutsch. Und dann versuch ich dieses Epsilon da einzuzeichnen. Also diese a-Linie, der sollen sich die xe schließlich beliebig genau annähern, das wär jetzt die sprachlich abgerüstete Variante. Schließlich beliebig genau annähern und dann mach ich jetzt so mein...
¤<431404>(0:07:11.4)

¤<480339>(0:08:00.3) Wesentliche Inhalte des Interviewabschnitts: 
CK schlägt vor Aufgabe zu haben, an denen Ss scheitern

¤<560223>(0:09:20.2) Wesentliche Inhalte des Interviewabschnitts: 
HH nennt Beispiel für komplexeres Muster (Eulersche Folge)

¤<629852>(0:10:29.9) Wesentliche Inhalte des Interviewabschnitts: 
HH: Probleme auf konzeptueller Ebene quälen ihn

			 HH:	Die, die mich quälen, sind tatsächlich die auf der konzeptionellen Ebene. Das ist jetzt die Antwort auf deine erste Frage Christian. Und die zweite Frage, ob ich eine Aufgabe hab, das hab ich wirklich versäumt jetzt in der Vorbereitung eine konkrete konzeptionelle Aufgabe mir zurecht zulegen. Auch deswegen, weil ich mir es inzwischen ziemlich abgewöhnt hab in Prüfungen eine solche konzeptionellen äh äh Aufgaben zu stellen, weil die Lösungsquote gegen Null geht.
¤<659780>(0:10:59.8)

¤<661311>(0:11:01.3) Wesentliche Inhalte des Interviewabschnitts: 
HH schlägt vor Pause zu machen

¤<774479>(0:12:54.5) Wesentliche Inhalte des Interviewabschnitts: 
"Pause"

¤<942271>(0:15:42.3) Wesentliche Inhalte des Interviewabschnitts: 
Christine: Bezeichnungen ändern sich

			 CN:	Was mir auch noch aufgefallen ist, jetzt einfach in den Folien, dass die Bezeichnungen sich ändern. Also einmal ist es x_n, dann ist es nur n, dann ist es irgendwie ein K. Es sind sehr sehr viele verschiedene Bezeichnungen, die vielleicht vermutlich das gleiche meinen oder auch nicht. Also für mich jetzt als Studierende, denk ich mir so, hmm warum wechselt der Experte jetzt hier die Bezeichnungen, also das war irgendwie auf den anderen Folien, ich weiß nicht ob ich da, nein da wollt ich jetzt nicht draufklicken. Peter könntest du mal Blättern?
			 PR:	Du kannst dir aber auch einfach die Präsentatorrechte nehmen, dann kannst du selbst Blättern. Aber sag mir wo ich hin soll. 
¤<984844>(0:16:24.8) CN: Genau, weil hier in der Folie tauchte dieses K auf ähm und Epsilon. Jetzt ne Folie weiter vorne. Ich hab versucht, das auch so, genau hier sagt er ja, das da hier ¤<999557>(0:16:39.6) ist jetzt x_n, aber vorher hieß es doch Limes von f(x), da hab ich echt so ein bisschen ¤<1002924>(0:16:42.9) hier war wieder das x_n ¤<1006142>(0:16:46.1) aber hier steht wieder das Limes von f(x). Warum schreibt er jetzt wieder Limes von x_n? Also das sind so ganz viele verschiedene, wo ich nicht weiß hat er sich jetzt verschrieben oder meint er wirklich was anderes? Warum verwendet er jetzt als Experte jetzt da wieder ne andere Nomenklatur?
¤<1024172>(0:17:04.2)

¤<1140259>(0:19:00.3) Wesentliche Inhalte des Interviewabschnitts: 
Britta empfiehlt, nicht auf Christines Punkt im Interview einzugehen.

¤<1359000>(0:22:39.0) Wesentliche Inhalte des Interviewabschnitts: 
Claudia erläutert verstecktes Wissen, das sie beobachtet hat.

			 CS:	Ich glaube, verstecktes Wissen hab ich auch ganz klar gesehen bei den ähm, weil er springt ja hin und her zwischen Folgen an sich, n 1,2,3,4,5, dann Folgen von Funktionen. Und das geht bei ihm, und da wechselt er die Ebenen ohne das er sich dessen bewusst ist so wie er selbst auch am Anfang auch gesagt hat er wechselt gerne zwischen Algorithmus, Rechnen und Konzept. Und das ist auch schon in der in den vier Arten der konvergierenden Dinge
			 CN:	Und ich denke es könnte auch dadrin mit enthalten sein, dass die Studierenden mit einem schulischen Vorwissen kommen rechtseitiger linksseitiger Grenzwert oder Limes, das sind so Sachen, die man vielleicht mal gehört hat aber man dann nicht mehr schafft diese Anknüpfungen zu finden und dann sieht man jetzt fängt der Dozent an von rechts irgendwie so xe dran zu zeichnen. Inwieweit muss ich das irgendwie muss ich das noch berücksichtigen? Das ist mir noch so gekommen.
			 PR:	Also dieses Ebenen Wechseln halte ich momentan für ein ganz starkes Kennzeichen von Expertise. Ich meine, wir sehen es ja auch anderswo. Ne? Also auch mal in der Physik, wir gucken irgendwie gleichzeitig äh mit Newtonscher Mechanik und, was weiß ich, was drauf. Also wir wechseln so ständig die Perspektive und das gelingt uns Experten natürlich total schnell. Und das gelingt auch dem Harald total schnell, er ist sich dessen bewusst.
¤<1443872>(0:24:03.9)

¤<1587559>(0:26:27.6) Wesentliche Inhalte des Interviewabschnitts: 
Interview geht weiter, d.h. Pause zu Ende
HH stellt konzeptuelle Fragestellung vor: Weise mittels Definition nach, dass die Folge $x_n = \frac{n}{n+17}$ den Limes 1 hat.
Testet ab, ob Definition operationalisiert werden kann. Möglicherweise ist das das engere Bottleneck.