HH-1

Interviewter: Harald Hofberger (HH)			
Interviewer 1 : Claudia Schäfle(CS)
Interviewer 2 : Christian Kautz(CK)
Koordinator: Peter Riegler (PR)	

¤<390649>(0:06:30.6) Wesentliche Inhalte des Interviewabschnitts:
Interview beginnt 

¤<589794>(0:09:49.8) Wesentliche Inhalte des Interviewabschnitts:  
HH erläutert, dass es drei Zugänge gibt:
1. algorithmischer Zugang
2. Mustererkennung
3. Konzept (angestrebte Ebene)

¤<745169>(0:12:25.2) Wesentliche Inhalte des Interviewabschnitts:  
HH weist auf multiple Ebenen und impliziten Wechsel zwischen Ebenen hin.

			 HH:	Ich wollte vielleicht noch ergänzen, dass ich mich oft auch bei einem didaktischen Fehler wahrscheinlich ertappe, dass ich zwischen diesen drei Ebenen der Rechenfertigkeit, der Mustererkennung, des Konzepts nicht sehr kontrolliert hin- und herwechsele. Sondern je nach der Aufgabenstellung, wenn ich Beispiele bespreche oder je nach den Fragen, die dann von den Studierenden kommen, manchmal auch relativ wild zwischen den Ebenen hin- und herwechsele und möglicherweise dadurch das Verständnis nochmal erschwere. Weil ich das dann auch nicht immer explizit mache auf welcher Ebene ich gerade bin. Ja? Also wir unterhalten uns jetzt auf ner didaktischen Metaebene. [CS: mhha] Das ist natürlich nicht die äh äh auf der ich mit meinen Studenten dann in der konkreten Unterrichtssituation kommuniziere. Sondern geht's um die konkreten Aufgaben oder ähm um die konkreten Kontexte, in denen dieser Limes auftritt. Ja?  	
¤<800665>(0:13:20.7)

¤<902946>(0:15:02.9) Wesentliche Inhalte des Interviewabschnitts:  
„kritischer Punkt“ wird als Terminus eingeführt.

¤<990013>(0:16:30.0) Wesentliche Inhalte des Interviewabschnitts:  
2 Annäherungsprobleme: x_i \to a, f(x_i) \to b
und damit 2 Folgen

¤<1028331>(0:17:08.3) Wesentliche Inhalte des Interviewabschnitts:  
"intuitiv zeichnerische Darstellung"

			 HH:	Ich habe zwei Achsen, auf denen ich zwei Folgen betrachte. Hier unten die x_1 bis x_n und hier auf der Ordinate die, und die y_1 bis y und so weiter, immer fort. Und die sollen, das wünsch ich mir, gegen diesen Punkt b gehen. Das ist die zeichnerische, die intuitiv zeichnerische Darstellung. Ähm, diese Darstellung ist schon relativ [CS: Ist das jetzt Algorithmus? Oder höhere Ebene?] Entschuldigung? Entschuldigung? Ich hab nichts verstanden, Claudia.
			 CS: 	Ja?
			 HH: 	Du sagtest gerade was, ich hab dich nicht verstanden.
			 CS: 	Ah, ok. Entschuldigung. Ist das jetzt Algorithmusebene oder höhere Ebene?
			 HH: 	Nein, das ist nicht Algorithmusebene [CS: Oder Konzept?] 

¤<1080276>(0:18:00.3) Wesentliche Inhalte des Interviewabschnitts:  
Intuitive Anschauung ist erste Stufe der Konzeptebene

			 HH:	Das ist äh, das ist die ähm, das ist die erste Stufe der Konzeptebene. Nämlich noch auf der intuitiv anschaulichen Art. Ja? Das würde ich jetzt durchaus schon in die Konzeptebenen tun, aber es ist noch sehr (informell NV?).
			 CS:	Ach da gibt's noch ne Untergruppierung. Ok. 
			 HH:	Ja? Ähm das wäre äh Konzeptebene, aber noch sehr informell. Informell anschaulich. So, ähm was soll ich hab auch ein Prob
			 CS: 	Und was ist daran schwierig?
			 HH:	Ich wollt auf ein Problem jetzt noch kurz zu sprechen kommen, was da jetzt schon drin steck. Denn ich verwende jetzt hier äh als Grundlage etwas was für sich genommen schon ein Problem ist, nämlich was bedeutet es denn, dass eine Folge x_1 bis, also x_1, x_2, x_3 und so weiter gegen a geht?

¤<1130086>(0:18:50.1) Wesentliche Inhalte des Interviewabschnitts:  
Folge geht gegen a
2 Darstellungen für a_n \to a
HH unterscheidet monotone Konvergenz, alternierende Konvergenz

			 HH:	Was soll denn das heißen? Und da brauch ich jetzt eine andere Anschauung. Peter kannst du mir weiterblättern oder kann ich das? Also was bedeutet das denn, dass (.) Ah jetzt hab ich kein Zeichenrecht mehr, jetzt hab ich kein Werkzeugleiste, doch jetzt hab ich's wieder, danke. [PR: Ist wieder da.] Ja. Also was bedeutet das denn? Das hab ich ja hier schon verwendet (¤<1158850>(0:19:18.9)), dass eine Folge x_n gegen a geht. Ich hab das grad eben so gezeichnet, auf dieser x-Achse lass ich eine Folge von Punkten gegen a laufen, wenn ich das präzisieren will, dass tu ich natürlich vorher. Dann wähl ich eigentlich ein anderes Bild, dass die Studenten, das Radiergummi, is ein Fehler hier, ein Dreier soll das sein, ¤<1192470>(0:19:52.5) ein Dreier x_3 und so weiter. Ja? Wähl ich dieses Bild? Ist das ein gutes Bild? Um die Konvergenz einer Folge reeller Zahlen gegen einen Grenzwert a zu äh, zu, zu veranschaulichen. Oder is nicht, was ich inzwischen mache, ein anderes Bild besser? Nämlich ein eigenes Koordinatensystem wieder, nur um die Folge äh, um die Konvergenz der Argumentfolge zu zeigen. Nämlich eine Indexachse für den Index n und für die, eine zweite Achse für die x_n's. Dann schaut diese Folge, die hier gegen a konvergiert, nämlich so aus, ¤<1234390>(0:20:34.4) Das a äh is auf dieser Achse anzusiedeln und hier sind nur die Indizes 1, 2, 3 4 und immer so weiter und die Folgenglieder wachsen jetzt zum Beispiel monoton gegen diesen Grenzwert a. Was ja nur ein Sonderfall ist. Der allgemeine Konvergenzbegriff ist äh, setzt ja nicht nur monotone Konvergenz voraus. Ja? Auf diese Art kann ich jetzt, wenn ich das so darstelle, eigentlich schöner verschiedenen Arten der Konvergenz illustrieren. Das wäre ne monotone Konvergenz [CS: Aber] und, wenn ich ne Folge habe, die äh so ausschaut, dann hätt ich ne alternierende Konvergenz, die sich äh von unterschiedlichen Seiten an den Grenzwert schließlich annähert. Und sie
			 CS: 	Harald ich muss nochmal unterbrechen, was ist schwierig für die Studierenden? Was ist die Schwierigkeit?
			 HH: Eine Schwierigkeit ist zum Beispiel, dann diesen Bildern, die ich in der Vorlesung rüberbringe. Ja? Hier geht's um den Begriff der Konvergenz, was es überhaupt heißen soll, x_n geht gegen a. Da hab ich zwei verschiedene Bilder, wenn ich von, auf dieser Basis jetzt auf die vorherige äh äh Anwendung gehe. Peter jetzt müsstest du mal zurückblättern, weil ich zu dumm bin dazu, kann ich blättern? Wenn du mir sagst, wie es geht, mach ich das natürlich auch selber. ¤<1324474>(0:22:04.5) Ja danke. Ähm, ihr seht ich habe hier jetzt zwei Folgen, nämlich die x_i's, die gegen a konvergieren, und die y_i's, die gegen b konvergieren. Und die [CS: Mhm.] Bilder, die in der zweiten Folge, die in der Vorlesung natürlich vorher kommen, dann ähm mit diesen Bildern in Verbindung setzen, das ist natürlich 'ne Schwierigkeit. Ja?
¤<1348709>(0:22:28.7)

¤<1379958>(0:23:00.0) Wesentliche Inhalte des Interviewabschnitts:  Formulierungen, die auf Fehlkonzepte hinweisen 

		 	 HH:	Da krieg ich dann äh so Formulierungen die auf ganz eklatante Fehlverständnisse hindeuten. Da gibt's zum Beispiel die Sprechweise [CS: Kann ich bitte? Könntest diese Frage mal formulieren? Bitte.] der Limes geht gegen 1. Darf ich kurz? Darf ich kurz? Da gibt's dann so Ausdrucksweisen wie: Der äh Limes geht gegen 1. Ja? Äh dieses, der Limes geht gegen 1, zeugt von 'nem ganz wesentlichen Missverständnis, weil ein Limes nicht geht. Der Limes ist der Grenzwert und der ist fest und das ist ein ganz wichtiges äh Detail, wenn man über Grenzwerte redet, dass man nicht, nicht die Vorstellung hat, der Limes geht irgendwie, sondern der Limes ist fest und das was geht, das sind äh Funktionsausdrücke oder äh Therme oder was auch immer. Ähm, daran merk ich das es dann konzeptionelles äh äh , 'ne starke konzeptionelle Schwierigkeit gibt. Aber ich merk jetzt 
			 CS:		Darf ich nochmal nach der Fragestellung fragen, die du die Studenten fragst und die sie dann falsch beantworten?
			 HH: 	Ja. Ja.
			 CS: 	Oder an denen sichtbar wird, dass wird das [NV?] [HH: Ja] im Dialog.
			 HH: 	Vielleicht kann ich es nochmal unterstreichen, äh oft kommt auch die Formulierung „ein Limes ist ja keine feste Zahl, sondern ein Limes ist nur ein ungefährer Wert“. Daran merk ich dann, dass dann ganz wesentliches Missverständnis ist. Dass ein Limes eine andere Art von Größe ist, irgendwas Ungefähres. Das ist ja in der Mathematik nicht so. Wenn ich sag „der Limes einer bestimmten Folge ist die Eulersche Zahl e“, dann hab ich die Vorstellung, dass die Eulersche Zahl e ein ganz bestimmter Punkt auf der Zahlengeraden ist, also ein eindeutig bestimmter fester Wert, der vielleicht den Makel hat, dass er in unserm Dezimalsystem nicht äh äh ausdrückbar ist, aber das ist ne Zahl wie jede andere. Wie 1 wie 3 oder Wurzel(7). Also an solchen Antworten, dass ein Limes geht oder dass ein Limes nur ein ungefährer Wert sei, daran erkenne ich Fehlver äh, Probleme auf dieser konzeptionellen Verständnisebene. Äh, wenn das jetzt schwer zu vermitteln ist, dann kann ich auf ne andere Ebene jetzt gehen.

¤<1500747>(0:25:00.7) Wesentliche Inhalte des Interviewabschnitts: 
Beispiel \lim_{n\to\infty} \frac{2 n+1}{n^2-7 n +3}
Lösen mit Rechnen. Hier haben Ss eher wenig Schwierigkeiten
Musterebene: Nennergrad > Zählergrad